조금 더 복잡한 Chain Rule

0. PDE를 써서 FDM으로 만들 때 복잡한 수식을 변환하거나, 격자 자체의 방향을 틀어버리는 목적으로 변수 치환을 많이 한다. 그 때 연산자 변환을 위해서 chain-rule을 자주 사용하는데, 2차 미분으로 넘어가면서 헷갈리는 경우가 많아 정리를 해두려 한다.

1. 복잡한 chain-rule에 대해 이해를 해보려다가 인터넷을 뒤적거리다 보니, 꽤 괜찮은 방법을 찾았다. 그 것은 바로 일종의 이항트리를 이용하는 방식이다. 다음과 같은 함수가 있다고 가정하자.

$$ \psi = x+y, \eta = x-y $$

여기서 $x$와 $y$를 변수로 갖는 함수를 $f(x, y)$로 하고 $\psi$와 $\eta$를 변수로 갖는 함수를 $g(\psi, \eta)$라고 하자. 여기서 $f(.) = g(.)$이라 하면, 내가 관심있는 것은 $\partial{f} / \partial{x}$를 어떻게 $\psi$와 $\eta$에 대해 변환할 수 있을까이다.
   변환을 시작하기 전에 다음과 같은 다이어그램을 그려보자.

$  g \\
 / \backslash \\
\psi   \eta \\
/ \backslash / \backslash \\
x  y x  y $

 뭔가 좀 후지긴 한데... 어쨌든, $g$는 $\psi, \eta$의 함수이고, 또 각각은 $x, y$의 함수라는 의미이다. 그래서 chain-rule을 이용하여 미분을 할 때 각 트리를 따라 내려가면 수월하게 할 수 있다. 트리의 가지를 하나 내려올 때마다 미분이 추가된다고 보면 된다. 즉, $g$에서 $\psi$로 오면 $g$를 $\psi$로, $\psi$에서 $x$로 오면 $\psi$를 $x$로 미분한다는 의미이다.

2. 1차 미분
   $\partial{f}/\partial{x}$를 변환하기 위해서, 즉 $\partial{g}/\partial{x}$를 찾기 위해서는 위 트리를 따라 내려가며 $x$가 나올 수 있는 경우를 모두 찾는다. 여기서는 $g \rightarrow \psi \rightarrow x$와 $g \rightarrow \eta \rightarrow x$의 두가지가 있다. 즉, $\psi, \eta$ 각각에 대해 미분을 해줘야 한다는 의미이다. 그래서 종합하면 다음과 같다.
$$  \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial \psi} \frac{\partial \psi}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial \eta} \frac{\partial \eta}{\partial x}  $$    그리고 앞에 정의한 $\psi, \eta$를 $x$에 대해 미분해서 넣어주면 다음과 같은 결과가 나온다.

$$ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial \psi} + \frac{\partial g}{\partial \eta}  ... (1)$$
   만약 $y$에 대해서 찾는다면 위와 같은 방식으로 트리를 타고 내려오면 쉽게 이해할 수 있다.

3. 2차 미분
   이제 $\partial^2 f/\partial{x}^2$를 변환하고 싶다. 그럼 앞의 그래프에서 $g$를 (1)번 식의 각 항으로 바꾸어 각각 진행한다. 즉, 두 항에 대해 앞과 같은 그래프 태우기를 한다. 그럼 다음과 같은 순서로 진행된다.

$$  \frac{\partial^2 f}{\partial{x}^2} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial g}{\partial \psi} +
 \frac{\partial g}{\partial \eta} ) \\ = (\frac{\partial^2 g}{\partial{\psi}^2} \frac{\partial{\psi}}{\partial x}
 + \frac{\partial^2 g}{\partial{\psi}\partial{\eta}}\frac{\partial \eta}{\partial x})
 +  (\frac{\partial^2 g}{\partial{\eta}^2} \frac{\partial{\eta}}{\partial x}
 + \frac{\partial^2 g}{\partial{\psi}\partial{\eta}}\frac{\partial \psi}{\partial x}) $$
   즉, 트리의 각 가지를 타고 내려오며 해당 미분을 해주면 된다는 의미다. 

4. 합성 미분
   합성 미분도 위의 방식대로 $x$가 필요할 때는 $x$를 찾는 방향으로, $y$가 필요하면 $y$를 찾는 방향으로 움직이면 된다.


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