대량살상 수학무기(캐시 오닐) - 원글 작성: 2017.12.17

이 책의 원저자 ‘캐시 오닐’은 하버드 대학에서 정수론으로 박사 학위를 받았다. 하버드 대학 정수론 전공이라 하면 순수 수학에서는 정말 알아준다고 한다. 졸업 후 교수, 헤지 펀드의 퀀트, 스타트업의 데이터 과학자 등을 거쳤다. 그녀의 이력에서 알 수 있듯이 수학 모형에 대한 이야기를 하기에 가장 좋은 위치일 것 같다.

 저자는 데이터를 처리하고 어떠한 예측을 내놓는 모형 중 일부를 ‘WMD(Weapon of Math Destruction)’이라 칭한다. 이 말은 ‘대량 살상무기’를 꼬은 말이다. 어느 모형이 WMD의 반열에 오르기 위해 여러가지 조건이 있다.

1. 대리 데이터를 사용할 것
2. 확산이 빠를 것
3. 부정적 피드백 루프를 만들어 낼 것

 어떠한 대상을 판단하는데 있어 다양한 정보가 필요하다. 그 대상이 사람이라면 더욱 그럴 것이다. 한 사람이 살아온 환경, 성격 등 정말 많은 요소가 있다. 하지만 소위 빅데이터를 이용한다는 모형을 통해 사람을 판단한다고 하면, 모형이 사용할 수 있는 데이터는 매우 피상적이다. 가령 사는 지역으로 범죄 발생 가능성을 예측한다거나, 인종, 민족 등으로 신용 등급을 유추한다(대리 데이터). 이렇다 보니 이미 가난한 환경에 사는 사람은 계속 감시 받고, 자금을 융통할 수 없어 더욱 가난해지는 악순환에 처한다(부정적 피드백). 문제는 이러한 WMD가 돈을 빌려주는 금융기관 처럼 힘 있는 기관들에 흔하게 퍼져있고, 빠른 속도로 여기 저기 적용되어진다(빠른 확산). 이는 마이너리티의 입장에서 일상 생활을 영위 하는 사람들을 실패의 나락으로 빠트릴 수도 있다.

 요즈음 빅데이터와 머신러닝이 아주 흔한 소재가 되었다. 마치 데이터만 충분하다면 모든 답을 다 도출할 수 있을 것이라 생각한다. 하지만 하나 착각하고 있는 것은 ‘상관관계’와 ‘인과관계’를 동일시 하는 것이다. 대부분의 모형은 데이터와 결과의 상관관계를 찾는데는 상당히 능하다. 하지만 그것이 인과관계를 설명하는 것은 절대 아니다. 그렇다보니 머신러닝의 결과물은 의문 투성이일 수 밖에 없고, 일부는 결과물을 마치 신탁인양 생각하는 경우도 있다.

 수학 모형은 어렵다. 하지만 이 모형에서 나온 결과를 대하는 사람들은 반드시 의심하여야 한다. 그를 통하여 무조건적인 신뢰만 피한다면 블랙박스라 하더라도 나름 유용한 도구로 사용할 수 있다. 결정을 내리는 것은 결국 사람이다.

조금 더 복잡한 Chain Rule

0. PDE를 써서 FDM으로 만들 때 복잡한 수식을 변환하거나, 격자 자체의 방향을 틀어버리는 목적으로 변수 치환을 많이 한다. 그 때 연산자 변환을 위해서 chain-rule을 자주 사용하는데, 2차 미분으로 넘어가면서 헷갈리는 경우가 많아 정리를 해두려 한다.

1. 복잡한 chain-rule에 대해 이해를 해보려다가 인터넷을 뒤적거리다 보니, 꽤 괜찮은 방법을 찾았다. 그 것은 바로 일종의 이항트리를 이용하는 방식이다. 다음과 같은 함수가 있다고 가정하자.

$$ \psi = x+y, \eta = x-y $$

여기서 $x$와 $y$를 변수로 갖는 함수를 $f(x, y)$로 하고 $\psi$와 $\eta$를 변수로 갖는 함수를 $g(\psi, \eta)$라고 하자. 여기서 $f(.) = g(.)$이라 하면, 내가 관심있는 것은 $\partial{f} / \partial{x}$를 어떻게 $\psi$와 $\eta$에 대해 변환할 수 있을까이다.
   변환을 시작하기 전에 다음과 같은 다이어그램을 그려보자.

$  g \\
 / \backslash \\
\psi   \eta \\
/ \backslash / \backslash \\
x  y x  y $

 뭔가 좀 후지긴 한데... 어쨌든, $g$는 $\psi, \eta$의 함수이고, 또 각각은 $x, y$의 함수라는 의미이다. 그래서 chain-rule을 이용하여 미분을 할 때 각 트리를 따라 내려가면 수월하게 할 수 있다. 트리의 가지를 하나 내려올 때마다 미분이 추가된다고 보면 된다. 즉, $g$에서 $\psi$로 오면 $g$를 $\psi$로, $\psi$에서 $x$로 오면 $\psi$를 $x$로 미분한다는 의미이다.

2. 1차 미분
   $\partial{f}/\partial{x}$를 변환하기 위해서, 즉 $\partial{g}/\partial{x}$를 찾기 위해서는 위 트리를 따라 내려가며 $x$가 나올 수 있는 경우를 모두 찾는다. 여기서는 $g \rightarrow \psi \rightarrow x$와 $g \rightarrow \eta \rightarrow x$의 두가지가 있다. 즉, $\psi, \eta$ 각각에 대해 미분을 해줘야 한다는 의미이다. 그래서 종합하면 다음과 같다.
$$  \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial \psi} \frac{\partial \psi}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial \eta} \frac{\partial \eta}{\partial x}  $$    그리고 앞에 정의한 $\psi, \eta$를 $x$에 대해 미분해서 넣어주면 다음과 같은 결과가 나온다.

$$ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial \psi} + \frac{\partial g}{\partial \eta}  ... (1)$$
   만약 $y$에 대해서 찾는다면 위와 같은 방식으로 트리를 타고 내려오면 쉽게 이해할 수 있다.

3. 2차 미분
   이제 $\partial^2 f/\partial{x}^2$를 변환하고 싶다. 그럼 앞의 그래프에서 $g$를 (1)번 식의 각 항으로 바꾸어 각각 진행한다. 즉, 두 항에 대해 앞과 같은 그래프 태우기를 한다. 그럼 다음과 같은 순서로 진행된다.

$$  \frac{\partial^2 f}{\partial{x}^2} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial g}{\partial \psi} +
 \frac{\partial g}{\partial \eta} ) \\ = (\frac{\partial^2 g}{\partial{\psi}^2} \frac{\partial{\psi}}{\partial x}
 + \frac{\partial^2 g}{\partial{\psi}\partial{\eta}}\frac{\partial \eta}{\partial x})
 +  (\frac{\partial^2 g}{\partial{\eta}^2} \frac{\partial{\eta}}{\partial x}
 + \frac{\partial^2 g}{\partial{\psi}\partial{\eta}}\frac{\partial \psi}{\partial x}) $$
   즉, 트리의 각 가지를 타고 내려오며 해당 미분을 해주면 된다는 의미다. 

4. 합성 미분
   합성 미분도 위의 방식대로 $x$가 필요할 때는 $x$를 찾는 방향으로, $y$가 필요하면 $y$를 찾는 방향으로 움직이면 된다.