1. Quanto Option 이란
Quanto option의 정의를 따오자면 다음과 같다. (출처: Investopedia)
DEFINITION of 'Quantity-Adjusting Option - Quanto Option'
A cash-settled, cross-currency
derivative in which the
underlying asset is denominated in a currency other than the currency in which the option is settled. Quantos are settled at a fixed rate of exchange, providing investors with shelter from exchange-rate risk. At the time of expiration, the option's value is calculated in the amount of foreign currency and then converted at a fixed rate into the domestic currency.
Read more: Quantity-Adjusting Option (Quanto Option) Definition | Investopedia http://www.investopedia.com/terms/q/quantooption.asp#ixzz3rtA3UYDD
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예를 들면 KRW로 발행한 옵션인데, 기초 자산은 Eurostoxx 50이고, 환 관계없이 수익률에만 의존하는 옵션 정도로 생각하면 될 것 같다. 그렇다보니 실제 헤지 운용을 하는 입장에서는 FX에 대한 부분을 어떻게 처리 하느냐가 중요한 이슈가 된다.
2. PDE의 유도
직전의 'Black-Scholes PDE의 유도'와 같은 방식으로 진행해보자. 추가적으로 $X$는 기초자산 통화에서 옵션의 통화로 바꿔주는 환율의 GBM 프로세스라 하자. Quanto call option을 가정하면 그 옵션의 값은 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$
f = X_{0} (S-K)^{+}
$$
즉, 고정된 환율로 옵션의 수익을 변환한다고 생각할 수 있다. 그러면 BS PDE를 유도하는 방식대로 포트폴리오를 만들고, 그 포트폴리오의 아주 짧은 기간의 수익률이 옵션의 환에 사용되는 무위험 이자율만큼 되도록 한다. 여기서 $r$은 옵션의 환(domestic currency)이고 $r_{f}$는 기초 자산의 환이다. 여기서도 콜 옵션 매도 포지션을 가정한다.
$$
d(-X_{0}f + \Delta_{S}XS + \Delta_{M}XM_{f}) = r(-X_{0}f + \Delta_{S}XS + \Delta_{M}XM_{f})dt
$$
이 식에서 보면 $M_{f}$는 운용되는 현금이고 기초자산과 환이 같다. 그리고 각 항마다 각자 환율을 곱한 것을 볼 수 있다. 단 옵션 가격에만 초기 환율(고정 환율)이 곱해져 있다. 앞 포스트의 노테이션을 사용하여 좌항을 전개해보자.
$$
d(-X_{0}f + \Delta_{S}XS + \Delta_{M}XM_{f}) \\ = -X_{0}(\Theta dt + \Delta_{0} dS + 0.5\Gamma dS^2) + \\ \Delta_{S}(XdS + SdX + dXdS) + \Delta_{M}(XdM_{f} + M_{f}dX)
$$
뭐가 많이 생겼다. 여기서 $X$ 자체가 어떤 GBM process이기 때문에 stochastic calculus를 적용해줘야 한다. 그렇다보니 환 $X$에 대한 노출을 잡아줄 필요가 있다. 위의 식을 $dS$와 $dX$에 대해 묶고 $dSdX = XS\rho\sigma_{S}\sigma_{X}$의 관계식을 사용하여 전개하면 다음과 같다.
$ d(-X_{0}f + \Delta_{S}XS + \Delta_{M}XM_{f}) = \\ -X_{0}(\Theta dt + 0.5\Gamma dS^2) + (-X_{0}\Delta_{0} + X\Delta_{S})dS + (\Delta_{M}M_{f} + \Delta_{S}S)dX \\ + \Delta_{S}XS\rho\sigma_{S}\sigma_{X} + \Delta_{M}r_{f}XM_{f}dt $
그렇다면 stochastic term인 $dS$와 $dX$에 대한 민감도를 없애기 위해선 다음과 같이 $\Delta$를 잡아야 한다.
$ \Delta_{S} = \frac{X_{0}}{X} \Delta_{0} $
$ \Delta_{M}M_{f} = -\Delta_{S}S = -\frac{X_{0}}{X}\Delta_{0}S $
즉, 환율로 나누어진 주식의 delta외에도 주식 delta 수량만큼의 현금 반대 포지션이 있어야 환에 대한 민감도를 없앨 수 있다는 의미가 된다. 이 경우 정확하게 헤지를 하려면 해당 현금에 대한 매도 포지션이 있어야 하는데 현실적으로 어려우므로 환 선물 등을 이용할 수 있다.
위의 delta에 대한 식을 대입하여 조합하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
$ d(-X_{0}f + \Delta_{S}XS + \Delta_{M}XM_{f}) \\ = -X_{0}(\Theta + (r_{f} - \rho\sigma_{S}\sigma_{X})\Delta_{0}S + 0.5\sigma_{S}^{2}S^{2}\Gamma)dt $
이제 우항을 앞서 구해진 delta식 등을 이용하여 전개하면 다음과 같다.
$ r(-X_{0}f + \Delta_{S}XS + \Delta_{M}XM_{f})dt = r(-X_{0}f + \Delta_{0}X_{0}S - \Delta_{0}X_{0}S)dt = -rX_{0}fdt $
좌항과 우항을 조합하면 다음과 같다.
$ -X_{0}(\Theta + (r_{f} - \rho\sigma_{S}\sigma_{X})\Delta_{0}S + 0.5\sigma_{S}^{2}S^{2}\Gamma)dt = -rX_{0}fdt $
이제 양 항을 $-X_{0}dt$로 나누면 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.
$ \Theta + (r_{f} - \rho\sigma_{S}\sigma_{X})\Delta_{0}S + 0.5\sigma_{S}^{2}S^{2}\Gamma = rf $
즉, 기초 자산의 drift term이 $r_{f} - \rho\sigma_{S}\sigma_{X}$ 식으로 바뀐 Black-Scholes PDE를 도출할 수 있다.
여기서 국내 시장의 상황상 $r_{f}$ 금리를 무엇을 사용하느냐가 이슈가 될 수 있다. 결국 운용하는데 있어 외환의 차입 또는 운용방식에 따라 금리를 맞게 사용해야 할 것이다.
