우선 $f$라는 가격을 갖는 '콜 옵션'을 가정하자. 그리고 이 옵션의 기초 자산의 가격을 $S$라 하고, 운용 또는 차입을 할 수 있는 무위험 금리를 $r$이라고 하자. 여기서 이 콜 옵션을 팔았다고 가정하고 델타 헤지를 하게 되면 다음과 같은 포트폴리오를 구성 할 수 있다.
$ -f + \Delta_{S}S + \Delta_{M}M$
여기서 $\Delta_{S}$는 헤지를 위해 거래해야 하는 기초 자산의 수량이고 $\Delta_{M}$은 주식을 사기 위해 차입한 자금의 수(수량이 있다면)이다. 그렇다면 자연스럽게 $M$은 무위험 금리로 운용되는 자금이라 볼 수 있다.
옵션 헤지 운용은 헤지를 통한 옵션 운용이 무위험 금리만큼의 수익을 내는 것을 기본 가정으로 깔고 시작한다. 그러므로 위의 포트폴리오가 아주 짧은 시간(이라 쓰고 대충 하루라 읽는다)인 $dt$ 동안 변해야할 양은 다음과 같다.
$d(-f + \Delta_{S}S + \Delta_{M}M) = r(-f + \Delta_{S}S + \Delta_{M}M)dt $
이제 이 식을 가지고 유도해보자. 일단 좌항부터 전개를 하자. 그 전에 편의를 위해 다음과 같이 미분항을 알려진(쉬운?) 노테이션으로 바꾸자.
$ \Theta = \frac{\partial{f}}{\partial{t}}, \Delta_{0} = \frac{\partial{f}}{\partial{S}}, \Gamma = \frac{\partial^2{f}}{\partial{S}^2}$
이 노테이션을 이용하면 앞의 포트폴리오 식을 다음과 같이 전개할 수 있다.
$ d(-f + \Delta_{S}S + \Delta_{M}M) = -(\Theta dt + \Delta_{0} dS + 0.5 \Gamma dS^2) + \Delta_{S}dS + \Delta_{M}dM$
$ \Delta_{0} = \Delta_{S}$
즉, 기초 자산의 수량은 $S$로 미분한 값에 맞춰주면 된다는 의미이다. 그리고 $M$의 경우 짧은 시간동안의 변동량은 무위험 이자율 만큼이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
$ \Delta_{M}dM = r\Delta_{M}Mdt $
이제 우항을 전개하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
$ r(-f + \Delta_{S}S + \Delta_{M}M)dt = -rfdt + r\Delta_{0}Sdt + r\Delta_{M}Mdt $
이제 앞서 구한 델타 값과 $M$에 대한 식을 이용하여 완성된 식으로 써보자.
$ -(\Theta dt + 0.5 \sigma^2 \Gamma S^2 dt) + r\Delta_{M}Mdt = -rfdt + r\Delta_{0}Sdt + r\Delta_{M}Mdt $
이 식을 잘 정리하면 최종 결과로 다음과 같은 식을 구할 수 있다.
$ \Theta + r\Delta_{0}S + 0.5 S^2\sigma^2 \Gamma = rf $
즉, Black-Scholes PDE를 구할 수 있다.
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