Quanto Option을 위한 Black-Scholes PDE

1. Quanto Option 이란

 Quanto option의 정의를 따오자면 다음과 같다. (출처: Investopedia)

DEFINITION of 'Quantity-Adjusting Option - Quanto Option'

A cash-settled, cross-currency derivative in which the underlying asset is denominated in a currency other than the currency in which the option is settled. Quantos are settled at a fixed rate of exchange, providing investors with shelter from exchange-rate risk. At the time of expiration, the option's value is calculated in the amount of foreign currency and then converted at a fixed rate into the domestic currency.

Read more: Quantity-Adjusting Option (Quanto Option) Definition | Investopedia http://www.investopedia.com/terms/q/quantooption.asp#ixzz3rtA3UYDD 
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  예를 들면 KRW로 발행한 옵션인데, 기초 자산은 Eurostoxx 50이고, 환 관계없이 수익률에만 의존하는 옵션 정도로 생각하면 될 것 같다. 그렇다보니 실제 헤지 운용을 하는 입장에서는 FX에 대한 부분을 어떻게 처리 하느냐가 중요한 이슈가 된다.

2. PDE의 유도

 직전의 'Black-Scholes PDE의 유도'와 같은 방식으로 진행해보자. 추가적으로 $X$는 기초자산 통화에서 옵션의 통화로 바꿔주는 환율의 GBM 프로세스라 하자. Quanto call option을 가정하면 그 옵션의 값은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ f = X_{0} (S-K)^{+} $$

 즉, 고정된 환율로 옵션의 수익을 변환한다고 생각할 수 있다. 그러면 BS PDE를 유도하는 방식대로 포트폴리오를 만들고, 그 포트폴리오의 아주 짧은 기간의 수익률이 옵션의 환에 사용되는 무위험 이자율만큼 되도록 한다. 여기서 $r$은 옵션의 환(domestic currency)이고 $r_{f}$는 기초 자산의 환이다. 여기서도 콜 옵션 매도 포지션을 가정한다.

$$ d(-X_{0}f + \Delta_{S}XS + \Delta_{M}XM_{f}) = r(-X_{0}f + \Delta_{S}XS + \Delta_{M}XM_{f})dt $$

 이 식에서 보면 $M_{f}$는 운용되는 현금이고 기초자산과 환이 같다. 그리고 각 항마다 각자 환율을 곱한 것을 볼 수 있다. 단 옵션 가격에만 초기 환율(고정 환율)이 곱해져 있다. 앞 포스트의 노테이션을 사용하여 좌항을 전개해보자.

$$ d(-X_{0}f + \Delta_{S}XS + \Delta_{M}XM_{f}) \\ = -X_{0}(\Theta dt + \Delta_{0} dS + 0.5\Gamma dS^2) + \\ \Delta_{S}(XdS + SdX + dXdS) + \Delta_{M}(XdM_{f} + M_{f}dX) $$

뭐가 많이 생겼다. 여기서 $X$ 자체가 어떤 GBM process이기 때문에 stochastic calculus를 적용해줘야 한다. 그렇다보니 환 $X$에 대한 노출을 잡아줄 필요가 있다.  위의 식을 $dS$와 $dX$에 대해 묶고 $dSdX = XS\rho\sigma_{S}\sigma_{X}$의 관계식을 사용하여 전개하면 다음과 같다.

$ d(-X_{0}f + \Delta_{S}XS + \Delta_{M}XM_{f}) = \\ -X_{0}(\Theta dt + 0.5\Gamma dS^2) + (-X_{0}\Delta_{0} + X\Delta_{S})dS  + (\Delta_{M}M_{f} +  \Delta_{S}S)dX \\ + \Delta_{S}XS\rho\sigma_{S}\sigma_{X} + \Delta_{M}r_{f}XM_{f}dt $

 그렇다면 stochastic term인 $dS$와 $dX$에 대한 민감도를 없애기 위해선 다음과 같이 $\Delta$를 잡아야 한다.

$ \Delta_{S} = \frac{X_{0}}{X} \Delta_{0} $

$ \Delta_{M}M_{f} = -\Delta_{S}S = -\frac{X_{0}}{X}\Delta_{0}S $

 즉, 환율로 나누어진 주식의 delta외에도 주식 delta 수량만큼의 현금 반대 포지션이 있어야 환에 대한 민감도를 없앨 수 있다는 의미가 된다. 이 경우 정확하게 헤지를 하려면 해당 현금에 대한 매도 포지션이 있어야 하는데 현실적으로 어려우므로 환 선물 등을 이용할 수 있다.
 위의 delta에 대한 식을 대입하여 조합하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

$ d(-X_{0}f + \Delta_{S}XS + \Delta_{M}XM_{f}) \\ = -X_{0}(\Theta + (r_{f} - \rho\sigma_{S}\sigma_{X})\Delta_{0}S + 0.5\sigma_{S}^{2}S^{2}\Gamma)dt $

 이제 우항을 앞서 구해진 delta식 등을 이용하여 전개하면 다음과 같다.

$ r(-X_{0}f + \Delta_{S}XS + \Delta_{M}XM_{f})dt = r(-X_{0}f + \Delta_{0}X_{0}S - \Delta_{0}X_{0}S)dt = -rX_{0}fdt $

 좌항과 우항을 조합하면 다음과 같다.

$ -X_{0}(\Theta + (r_{f} - \rho\sigma_{S}\sigma_{X})\Delta_{0}S + 0.5\sigma_{S}^{2}S^{2}\Gamma)dt = -rX_{0}fdt $

 이제 양 항을 $-X_{0}dt$로 나누면 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.

$ \Theta + (r_{f} - \rho\sigma_{S}\sigma_{X})\Delta_{0}S + 0.5\sigma_{S}^{2}S^{2}\Gamma = rf $

 즉, 기초 자산의 drift term이 $r_{f} - \rho\sigma_{S}\sigma_{X}$ 식으로 바뀐 Black-Scholes PDE를 도출할 수 있다.

 여기서 국내 시장의 상황상 $r_{f}$ 금리를 무엇을 사용하느냐가 이슈가 될 수 있다. 결국 운용하는데 있어 외환의 차입 또는 운용방식에 따라 금리를 맞게 사용해야 할 것이다.

Black-Scholes PDE의 유도

Black-Scholes PDE를 유도하는 방법을 살펴보자. 여기서 볼 방법은 옵션과 헤지 대상인 자산의 포트폴리오를 만들어 유도하는 방식이다.

우선 $f$라는 가격을 갖는 '콜 옵션'을 가정하자. 그리고 이 옵션의 기초 자산의 가격을 $S$라 하고, 운용 또는 차입을 할 수 있는 무위험 금리를 $r$이라고 하자. 여기서 이 콜 옵션을 팔았다고 가정하고 델타 헤지를 하게 되면 다음과 같은 포트폴리오를 구성 할 수 있다.

$ -f + \Delta_{S}S + \Delta_{M}M$

 여기서 $\Delta_{S}$는 헤지를 위해 거래해야 하는 기초 자산의 수량이고 $\Delta_{M}$은 주식을 사기 위해 차입한 자금의 수(수량이 있다면)이다. 그렇다면 자연스럽게 $M$은 무위험 금리로 운용되는 자금이라 볼 수 있다.

 옵션 헤지 운용은 헤지를 통한 옵션 운용이 무위험 금리만큼의 수익을 내는 것을 기본 가정으로 깔고 시작한다. 그러므로 위의 포트폴리오가 아주 짧은 시간(이라 쓰고 대충 하루라 읽는다)인 $dt$ 동안 변해야할 양은 다음과 같다.

$d(-f + \Delta_{S}S + \Delta_{M}M) = r(-f + \Delta_{S}S + \Delta_{M}M)dt $

 이제 이 식을 가지고 유도해보자. 일단 좌항부터 전개를 하자. 그 전에 편의를 위해 다음과 같이 미분항을 알려진(쉬운?) 노테이션으로 바꾸자.

$ \Theta = \frac{\partial{f}}{\partial{t}}, \Delta_{0} = \frac{\partial{f}}{\partial{S}}, \Gamma = \frac{\partial^2{f}}{\partial{S}^2}$

이 노테이션을 이용하면 앞의 포트폴리오 식을 다음과 같이 전개할 수 있다.

$ d(-f + \Delta_{S}S + \Delta_{M}M) = -(\Theta dt + \Delta_{0} dS + 0.5 \Gamma dS^2) + \Delta_{S}dS + \Delta_{M}dM$

 여기서 델타 헤지를 위해서 $dS$항을 없애야 한다. 그렇다면 다음과 같은 관계식이 성립하여야 한다. (Gamma에 붙은 항은 어차피 $S^2\sigma^2dt$만 남는다.)

$ \Delta_{0} = \Delta_{S}$

 즉, 기초 자산의 수량은 $S$로 미분한 값에 맞춰주면 된다는 의미이다. 그리고 $M$의 경우 짧은 시간동안의 변동량은 무위험 이자율 만큼이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$ \Delta_{M}dM = r\Delta_{M}Mdt $

 이제 우항을 전개하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$ r(-f + \Delta_{S}S + \Delta_{M}M)dt = -rfdt + r\Delta_{0}Sdt + r\Delta_{M}Mdt $

 이제 앞서 구한 델타 값과 $M$에 대한 식을 이용하여 완성된 식으로 써보자.

$ -(\Theta dt + 0.5 \sigma^2 \Gamma S^2 dt) +  r\Delta_{M}Mdt = -rfdt + r\Delta_{0}Sdt + r\Delta_{M}Mdt $

 이 식을 잘 정리하면 최종 결과로 다음과 같은 식을 구할 수 있다.

$ \Theta + r\Delta_{0}S + 0.5 S^2\sigma^2 \Gamma = rf $

 즉, Black-Scholes PDE를 구할 수 있다.