Girsanov Theorem과 Measure Change (non stochastic case)

 앞서 포스트에서 Girsanov Theorem에 대해 썼었는데, 아무리 생각해도 내가 순서도 건너 뛴 느낌이고, 이해도 제대로 못하고 있는 것 같다.(물론 지금도 다 이해한 것은 아닌게 확실하지만.-_-) 원래대로라면 Stochastic process에서의 Girsanov Theorem 전에 일반적인 random variable에서의 경우를 정리하는 것이 맞다.

 - Girsanov Theorem과 Radon-Nikodym derivative

 어떤 random variable $x$가 다음과 같은 분포를 따른다고 하자.

$x \sim N(\mu, \nu)$

 즉, 평균이 $\mu$이고 분산이 $\nu$인 정규분포를 따른다는 의미이다. 여기서 이 분포의 확률 밀도(probability density)함수 $f(x)$는 다음과 같다.

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\nu}}e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\nu}}$

그렇다면, 이 $x$의 기대값은 다음과 같은 식으로 표현할 수 있다.

$E^{P}[x]=  \int_{x\in\Omega} xf(x) dx = \int_{x\in\Omega} xdP(x)$

 그런데 여기서 어떠한 이유에서든 해당 random variable을 평균이 0이고 분산이 $\nu$인 척도(measure)에서 기대값을 측정하고 싶다고 하면 다음과 같은 과정을 거쳐 변환할 수 있다. 단, 여기서 가정은 어쨌건 두 척도가 어떤 random variable $y$에 대해, 한 쪽에서 확률이 0이라면 다른 한 쪽에서도 확률이 0이어야 한다. 즉 Equivalent해야 한다.

 우선 앞서 확률 밀도 함수 $f(x)$를 해체해 보면 다음과 같이 이해할 수 있다.

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\nu}}e^{-(x^2 - 2\mu x + \mu^2)/2\nu} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\nu}} e^{(-x^2/2\nu)} e^{((2\mu x - \mu^2)/2\nu)}$

 이제 제일 오른쪽 항의 마지막 $e^{*}$를 어떤 함수 $g(x)$라 지칭하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$ g(x) = e^{(2\mu x - \mu^2)/2\nu} =  e^{\mu x/\nu - \mu^{2}/2\nu} $

 결국 어떤 확률 변수 $x$의 기대값을 구할 때 $g(x)^{-1}$를 함께 곱해서 구해주면 평균 $0$, 분산 $\nu$인 새로운 확률 척도(measure)에서의 기대값을 구할 수 있게 된다.

$ E^{\tilde{P}} [x] = E^{P} [g(x)^{-1}x] $

 그리고 이것을 Measure change라 부른다. 그리고 앞서 measure change에 지대한 역할을 한 $g(x)^{-1}$를 다음과 같이 각 척도의 비율로 볼 수 있다.

$g(x)^{-1} = \varepsilon (x) = e^{- \mu x/\nu + \mu^{2}/2\nu} = \frac{d\tilde{P}}{dP}$

 바로 이 식이 Radon-Nikodym Derivative의 한 예이다. 이 식을 이용해 앞의 random variable $x$의 기대값을 $\tilde{P}$ 척도에서 구하는 식을 써보면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$E^{\tilde{P}} [x] = E^{P} [\varepsilon (x) x] = \int x \varepsilon (x) dP(x) = \int x  d\tilde{P}(x)$

 이렇게 Girsanov Theorem의 예제를 살펴보았으니 정말로 numeraire change를 정리해 볼 때이다.