Girsanov Theorem과 Measure Change (non stochastic case)

 앞서 포스트에서 Girsanov Theorem에 대해 썼었는데, 아무리 생각해도 내가 순서도 건너 뛴 느낌이고, 이해도 제대로 못하고 있는 것 같다.(물론 지금도 다 이해한 것은 아닌게 확실하지만.-_-) 원래대로라면 Stochastic process에서의 Girsanov Theorem 전에 일반적인 random variable에서의 경우를 정리하는 것이 맞다.

 - Girsanov Theorem과 Radon-Nikodym derivative

 어떤 random variable $x$가 다음과 같은 분포를 따른다고 하자.

$x \sim N(\mu, \nu)$

 즉, 평균이 $\mu$이고 분산이 $\nu$인 정규분포를 따른다는 의미이다. 여기서 이 분포의 확률 밀도(probability density)함수 $f(x)$는 다음과 같다.

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\nu}}e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\nu}}$

그렇다면, 이 $x$의 기대값은 다음과 같은 식으로 표현할 수 있다.

$E^{P}[x]=  \int_{x\in\Omega} xf(x) dx = \int_{x\in\Omega} xdP(x)$

 그런데 여기서 어떠한 이유에서든 해당 random variable을 평균이 0이고 분산이 $\nu$인 척도(measure)에서 기대값을 측정하고 싶다고 하면 다음과 같은 과정을 거쳐 변환할 수 있다. 단, 여기서 가정은 어쨌건 두 척도가 어떤 random variable $y$에 대해, 한 쪽에서 확률이 0이라면 다른 한 쪽에서도 확률이 0이어야 한다. 즉 Equivalent해야 한다.

 우선 앞서 확률 밀도 함수 $f(x)$를 해체해 보면 다음과 같이 이해할 수 있다.

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\nu}}e^{-(x^2 - 2\mu x + \mu^2)/2\nu} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\nu}} e^{(-x^2/2\nu)} e^{((2\mu x - \mu^2)/2\nu)}$

 이제 제일 오른쪽 항의 마지막 $e^{*}$를 어떤 함수 $g(x)$라 지칭하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$ g(x) = e^{(2\mu x - \mu^2)/2\nu} =  e^{\mu x/\nu - \mu^{2}/2\nu} $

 결국 어떤 확률 변수 $x$의 기대값을 구할 때 $g(x)^{-1}$를 함께 곱해서 구해주면 평균 $0$, 분산 $\nu$인 새로운 확률 척도(measure)에서의 기대값을 구할 수 있게 된다.

$ E^{\tilde{P}} [x] = E^{P} [g(x)^{-1}x] $

 그리고 이것을 Measure change라 부른다. 그리고 앞서 measure change에 지대한 역할을 한 $g(x)^{-1}$를 다음과 같이 각 척도의 비율로 볼 수 있다.

$g(x)^{-1} = \varepsilon (x) = e^{- \mu x/\nu + \mu^{2}/2\nu} = \frac{d\tilde{P}}{dP}$

 바로 이 식이 Radon-Nikodym Derivative의 한 예이다. 이 식을 이용해 앞의 random variable $x$의 기대값을 $\tilde{P}$ 척도에서 구하는 식을 써보면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$E^{\tilde{P}} [x] = E^{P} [\varepsilon (x) x] = \int x \varepsilon (x) dP(x) = \int x  d\tilde{P}(x)$

 이렇게 Girsanov Theorem의 예제를 살펴보았으니 정말로 numeraire change를 정리해 볼 때이다.

Girsanov Theorem

https://en.wikipedia.org/wiki/Girsanov_theorem

자세한 내용은 위의 Wikipedia page를 참고하자.
일단 수학과 출신이 아니니 내가 아는대로만 정리하자.

1. Equivalent Martingale Measure

 어느 stochastic process의 성질이 maringale process이면 계산하는데 있어 다양한 이점을 지닌다. (자세한건 더 공부해서 정리하도록 하자.) 그래서 어떤 확률 분포 하에서 $S(t)$라는  continuous stochastic process가 submartingale이나 supermartingale인 경우 이를 확률 분포를 바꿔 martingale로 바꾸는 과정을 거치면 좋다.
 어떤 확률분포 $P$에서 $S(t)$가 다음과 같이 submartingale이라 하자.

$E^{P}[e^{-ru}S(t+u)] > S_{t}$

 그리고 확률 분포$P$를 equivanlent probability $\tilde{P}$로 바꿔 다음과 같이 martingale로 바꿀 수 있다고 하자.

$E^{\tilde{P}}[e^{-ru}S(t+u)] = S_{t}$

 그렇다면 확률분포 $\tilde{P}$를 $P$의 Equivalent Martingale Measure라 부른다.
 이 두 measure간의 변환을 위한 개념이 Radon-Nykodym Derivative라는 개념인데, 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\xi(z_{t})=\frac{d\tilde{P}(z_{t})}{dP(z_{t })}$

 즉, 어떤 measure $P$에서 $\tilde{P}$로 가는 일종의 변환식이라고 보면 될 것 같다.

2. Girsanov Theorem

 Igor Vladimirovich Girsanov라는 러시아 수학자 아저씨의 이론. 여기서 대상이 되는 stochastic process는 continuous 조건을 만족해야 한다.(그 조건이 뭔지는 나도 아직 모름.) 어쨌건... Salih N. Neftci가 쓴 An Introduction to Mathematics of Financial Derivatives라는 책을 참고로 정리 해보겠다.

 어떤 $t$ 시점의 information set $\{I_{t}\}$(probability space를 간편하게 부르는 듯)이 한정된 구간 $[0, T]$에 존재한다고 가정하자. 그리고 이 구간에서 다음과 같은 random process $\xi_{t}$를 정의 하자.

$\xi_{t} = \exp\{\int^{t}_{0}X_{u}dW_{u}-\frac{1}{2}\int^{t}_{0}X^{2}_{u}du\}, \enspace t \in [0, T] $

여기서 $X_{t}$는 $I_{t}$-measurable process이다. 그리고 $W_{t}$는 $P$라는 확률 분포상의 Wiener process이다.그리고 $E[\xi_{T}]=1$이라는 성질을 만족하여야 한다. (이 부분은 좀 더 공부해봐야 할 듯)

 추가로 $X_{t}$는 다음의 Novikov condition을 만족하는데 이는 $X_{t}$ 가 순식간에 변하지 않는다는의미를 갖는다.

$ E[\exp\{\int^{t}_{0}X^{2}_{u}du\}] < \infty , \enspace t \in [0, T] $ 

 그리고 $\xi_{t}$에 Ito Lemma를 적용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

$ d \xi_{t}=\xi_{t} X_{t} dW_{t}, \enspace \xi_{0}=1 $

 위 식의 양 변에 적분을 취하면 다음과 같다.

$ \xi_{t}=1+\int^{t}_{0}\xi_{s}X_{s}dW_{s}$

 위에서 적분 항은 Wiener process에 대한 적분이고, Novikov condition을 만족하므로 이 적분은 martingale의 성질을 갖는다.

$ E[\int^{t}_{0} \xi_{s}X_{s}dW_{s} | I_{u}] = \int^{u}_{0} \xi_{s}X_{s}dW_{s}$

 앞서까지 정리한 내용을 가지고 Girsanov theorem을 정리하면 다음과 같다.

 Theorem: 앞에 정의한 $\xi_{t}$가 martingale이면 다음과 같은 process 또한 Wiener process 이다.

$\tilde{W}_{t} = W_{t} - \int^{t}_{0}X_{u}du, \enspace t \in [0, T]$

 그리고 위 Wiener process를 적용할 probability measure $\tilde{P}_{T}$는 어떤 이벤트 $A$에 대해 다음과 같이 정의할 수 있다.

$\tilde{P}_{T}(A)=E^{P}[1_{A}\xi_{T}]$

 여기서 $1_{A}$는 indicator function이다. 

 이를 다시 해적해보자면, 어떤 Wiener process $W_{t}$가 있다면 이 process의 확률 분포에 $\xi_{t}$를 곱하여 새로운 Wiener process인 $\tilde{W}_{t}$와 이에 해당하는 확률 분포 $\tilde{P}$를 얻을 수 있다는 의미이다. 두 Wiener process는 다음과 같은 관계를 갖는다.

$d\tilde{W}_{t} = dW_{t} - X_{t}dt$

 

이제 좀 더 공부해서 Measure change하는 부분을 정리하여 보자.

패닉

0. 중국의 폭락과 손실
 최근 HSCEI 지수의 수익률이 하루 하루 요동을 치고 있다. HSCEI는 중국 기업이 HKEX(Hong knog Exchange)에 상장을 하여 HKD로 거래되는 주식들의 모음이다. 주로 금융주로 구성이 되어있다 보니 무엇보다 금융 시장의 움직임에 민감하다.

  우리나라의 ELS 시장은 매우 크다. 주로 은행 신탁으로 고객들에게 판매가 상당수 되었고, 지금도 되고 있으며, 기초자산이 대부분 몇 개 지수에 편중되어있다. 그 지수는 KOSPI 200, HSCEI, Eurostoxx 50, S&P 500, Nikkei 225 등이다. 이 중 HSCEI는 사실 선물/옵션 시장의 biggest player는 한국 증권사들이다. 그래서 장이 안정되고 발행 물량이 많을 때에는 지수가 떨어짐에도 불구하고 내재 변동성이 떨어지는 경우도 자주 있었다. 이는 발행 물량의 베가 및 세타를 커버하기 위한 물량이다. 상황이 이렇다보니 HKEX에서는 급기야 한국 기관 투자자의 한도에 대해 경고 메시지를 보냈고, 국내 감독기관도 HSCEI에 대한 발행을 암묵적으로나마 중단시키기에 이른다.

 최근 중국의 성장률 저하 우려와 각종 지표 값이 좋지 않게 나타나면서 중국의 장세가 하락일로를 걷고 있고, 그에 따라 HSCEI도 6개월만에 14,000대에서 9,000대로 주저 앉았다. 이에 따라 단기 내재 변동성이 급등을하고 꾸준히 변동성이 높은 상태에서 거래가 되고 있다. 이러면서 발행 물량을 커버하기 위한 옵션 및 선물에서 증권사들마다 꽤 큰 손실을 기록하고 있고, 대부분 그래도 아직 수익 상태라고 얘기는 하지만 진실은 잘 모르겠다. (물론 다들 잘 막았으리라 생각하지만.)

1. Stepdown
 국내 발행 ELS의 경우 대부분 KI가 있거나 없는 Stepdown 형태로 발행한다. 이 구조가 꽤나 재미있는데, 지수의 움직임에 따라 감마와 베가가 수시로 바뀐다.

 - 발행시점
 발행을 하면 기본적으로 ITM 상태로 발행한다. 즉 첫 번째 조기 상환 배리어가 발행일 지수의 90%~80% 정도이다. 그러면 감마와 베가는 초기 상태에 발행자 입장에서 Long이 된다. 베가의 경우 Volatility Surface를 사용하는 만큼 일정한 term-structure를 가지게 되는데, 3년 만기 ELS를 발행했다 가정 하면 초기의 경우 duration에 맞게 6M~1Y, 2~3Y의 두 구간에서 가장 크게 나타난다.

- 지수가 하락할 경우
 이런 상황은 지수가 하락하면서 조기 상환 배리어를 기점을 지나면서 역전된다.
 지수가 하락하여 조기 상환 배리어 근처에 주가가 위치하게 되면 남은 조기상환까지의 기간, 즉 짧은 구간의 베가가 높아지게 된다. 그리고 추가 하락을  하여 지수가 더 낮아지면, ELS 상품의 duration이 길어지면서 대부분의 베가가 만기 근처에 몰리게 된다. 그리고 더 내려가면 put 옵션 구간이 ITM으로 바뀌며 감마가 훅 빠진다.

2. Hedge와 손실
 일반적으로 ELS 마진을 지키기 위한 hedge는 대부분 감마를 희생하고 세타와 베가를 막는데 치중한다. 그러다보니 매도 옵션의 대부분이 단기(1년 미만)에 몰리게 된다. 또한 지수가 상승하고 변동성이 빠지는 시기에 ELS 수요가 많아지면서 해당 지수에 발행이 몰리게 되는데 이 때 빠지는 변동성에 의해 옵션의 감마와 세타의 비율이 불리한 상황으로 변한다.
$\frac{1}{2}\sigma^{2}\Gamma = \Theta$
위의 수식은 금리와 배당이 0일 경우 그릭간의 관계식이다.(델타는 헤지가 되었다 가정함.) 앞의 수식을 보면 비율의 관계가 눈에 보인다.
이런 상황에서 ELS의 감마와 베가의 모양이 바뀌면서 장이 크게 흔들릴 때 불리한 형태로 포지션이 짜여지고, 폭락기에 큰 손실을 보게 된다.

3. 그렇다면?
 그렇다면 결국 손실을 보더라도 포지션의 빠른 re-balancing이 답일 것 같다. 그리고 세타로 잃는 부분이 있더라도 그 부분은 어느정도 감수를 하고 넘어가면서 포지션의 안정성을 높이는 것이 결국 승리하는 방법이 아닐까 한다. 사실 답이 이렇게 간단하다면 손실 볼 일이 없어야 하겠지만 그렇지도 않은게 트레이딩 일 것 같다.

테스트를 해봐요

텀블러 쓰다가 뭔가 아쉬워서 넘어오긴 하는데.
여기다가 뭔가 많이 쓸거 같지는 않다.
내가 그렇지 뭐